Bruno Parma wurde am 30. Dezember 1941 in Ljubljana (Laibach) geboren, nach dem Ersten Weltkrieg eine Zeitlang die Hauptstadt des Königreichs Jugoslawien. Im Jahr von Parmas Geburt wurde die Stadt von Italien besetzt. Nach dem Zweiten Weltkrieg wurde Ljubljana Teil der Sozialistischen Republik Jugoslawiens.
Während seiner Schulzeit zeigte sich schon Parmas großes Schachtalent. Sein erster großer internationaler Erfolg war der zweite bis vierte Platz bei Juniorenweltmeisterschaften 1960 in Münchenstein (Schweiz). Bei den Juniorenweltmeisterschaften 1961 in Den Haag gewann Parma den Titel des Jugendweltmeisters vor Florin Gheorghiu.
1959 und 1961 gewann Bruno Parma die Slowenischischen Meisterschaften. Bei den 20. Jugoslawischen Meisterschaften 1965 teilte er mit Svetozar Gligoric den zweiten Platz. Bei den 21. Jugoslawischen Meisterschaften, die noch im gleichen Jahr, Ende 1965, stattfanden, teilte er den zweiten Platz mit Borislav Ivkov. 1968 belegte Bruno Parma den geteilten dritten Platz, zusammen mit Dragoljub Minić, Milan Matulović und Bojan Kurajica.
Im Laufe seiner Karriere nahm Bruno Parma an zahlreichen internationalen Turnieren teil. Zu seinen Erfolgen gehören die Siege beim Rubinstein Memorial 1964, in Reggio Emilia 1965 und Reggio Emilia 1970, der geteilte erste Platz in Sarajevo 1970 mit Ljubojevic, der geteilte erste Platz mit Lubomir Kavalek in Nathanya 1971, die geteilten erste Plätzte im Kostic Memorial in Vrsac 1973, in Maribor 1977 und beim Sämisch Memorial 1978 in Kiel, außerdem zweite Plätze bei den Turnieren Amsterdam 1965 und Belgrad 1967, der geteilte zweite Platz beim Andersen Memorial 1968 in Büsum hinter Robert Hübner, der zweite Platz in Solingen 1968, der geteilte zweiter Platz in San Juan 1969 hinter Boris Spassky, und der geteilte zweiter Platz in Reykjavik 1975 (Zonenturnier).

Foto: MNSZS/ Svetozar Busic
Bruno Parma war ein sehr ausgeglichener Spieler, dessen Partien häufig remis endeten. Swetozar Gligoric nannte ihn deswegen den "friedlichen Parma".
Von Parmas drei Partien gegen Fischer endeten zwei Partien ebenfalls Remis. Beim Friedensturnier in Rovinje-Zagreb 1970 verlor er die Partie gegen Fischer.
Bruno Parma nahm für Jugoslawien zwischen 1962 und 1980 an acht Schacholympiaden teil und gewann mit der Mannschaft vier Silbermedaillen (1962, 1964, 1968, 1974) und zwei Bronzemedaillen (1970, 1980)
1961 erhielt Bruno Parma nach seinem Gewinn der Jugendweltmeisterschaft den Titel Internationaler Meister. 1963 wurde er als dritter slowenischer Spieler nach Milan Vidmar (1950) und Vasja Pirc (1953) zum Großmeister ernannt.
Der Slowenische Schachverband zeichnete Bruno Parma für seine außergewöhnlichen Leistungen Leistungen im Schach mit dem Vidmar-Preis und Bloudek-Preis aus.
Bruno Parma wurde 84 Jahre alt.