„Belehren ohne Worte, Vollbringen ohne zu handeln:
So gehen die Zenmeister vor.“
Laotse
Manchmal hängen diese beiden Kreativitätsbereiche – Schach und Mathematik – eng miteinander zusammen. Es gibt zum Beispiel Möglichkeiten, mit schachlichen Accessoires, also mit Schachbrett und Figuren mathematische Probleme zu lösen. Damit meine ich nicht solche Probleme, deren Aufgabenstellungen sich auf Gegebenheiten des Schachbretts und der Figuren beziehen. Sondern vielmehr die Möglichkeit, rein mathematische Aussagen durch den Einsatz schachlicher Mittel zu beweisen. Ebenso kann man bisweilen mit Mitteln der Logik schachliche Aufgabenstellungen lösen.
In diesem Beitrag sind wir besonders an mathematischen Beweisen und schachlichen Problemen interessiert, die zur Formulierung, Darstellung bzw. Lösung keiner Worte bedürfen: mathematische Beweise ohne Worte und schachliche Aufgaben ohne Worte.
Doch sehen Sie selbst.
Um das Gemeinte klarzumachen befassen wir uns als Eingangsbeispiel mit den ungeraden Zahlen, also mit den Zahlen 1, 3, 5, 7, usw. Davon gibt es unendlich viele. Addieren wir einmal die ersten beiden, dann die ersten drei, dann die ersten 4 ungeraden Zahlen:
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1+3+5+7 = 16
Fällt Ihnen etwas auf?
Genau! Auf der rechten Seite der Gleichung steht jeweils eine Quadratzahl. Wenn die ersten beiden ungeraden Zahlen addiert werden ist das Ergebnis die Quadratzahl von 2, also 4. Die Summe der ersten 3 ungeraden Zahlen ist die Quadratzahl von 3, also 9. Als nächstes kommt die 16 als Quadrat der 4. So scheint es weiterzugehen. Das kann man jedenfalls vermuten. Prüfen wir diese Vermutung noch an einem weiter reichenden Beispiel. Bilden wir einmal die Summe der ersten 8 ungeraden Zahlen
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
Wenn unsere Vermutung stimmt, erwarten wir die Quadratzahl von 8, also 64, als Ergebnis.
Das kann man natürlich leicht überprüfen, indem man die Summe einfach ausrechnet. Das aber wäre kein kreativer Akt.
Wir wollen deshalb anders vorgehen und einen Beweis erbringen, der zudem die Beziehung zum Schach herstellt. Genauer gesagt wollen wir die Aussage mithilfe eines Schachbretts durchführen.
Stellen wir uns dazu ein ganz normales 8x8 Schachbrett vor mit der üblichen Schwarz-Weiß-Musterung der 64 Felder. Jetzt nehmen wir gedanklich eine einfache Änderung der 32 schwarzen und 32 weißen Felder vor: In der unteren linken Ecke belassen wir das auch auf einem normalen Schachbrett vorhandene schwarze Feld. Alle drei benachbarten Felder a2, b2, b1 übermalen wir mit der Farbe weiß. Die nächsten fünf angrenzenden Felder a3, b3, c3, c2, c1 werden schwarz coloriert. Und so geht es weiter bis hin zum Winkelhaken, der aus der achten Reihe und der h-Linie des Schachbretts besteht. Er besteht aus 15 Feldern und alle werden weiß angemalt.
Entstanden ist das folgende Schaubild. Es ist immer noch ein 8x8 Brett, aber man würde es nicht mehr als Schachbrett bezeichnen. Die Musterung entspricht nun abwechselnd colorierten Winkelhaken, die jeweils, wie man leicht sieht, aus einer ungeraden Zahl von Feldern bestehen. Das 8x8-Brett besteht aus 8 Winkelhaken, deren innerster unten links nur aus 1 Feld besteht bis hin zum äußersten, der aus 15 Feldern besteht. Die Summe aller Felder der Winkelhaken ist leicht erkennbar die Summe der ersten 8 ungeraden Zahlen. Sie entspricht demzufolge der Anzahl der Felder eines normalen 8x8-Schachbretts, also 64. Hier ist das Bild dazu:
Diese Bearbeitung der Problemstellung ist eine sehr kreative und bei aller Einfachheit geniale Herangehensweise. Denn sie erlaubt eine weitreichende Verallgemeinerung der Ursprungsaufgabe: Ohne große Worte zu machen sieht man dem Schaubild unmittelbar an, dass außen beliebig viele weitere Winkelhaken hinzugefügt werden können. Diese Winkelhaken bestehen jeweils aus der nächstgrößeren ungeraden Zahl von Feldern. Und jeder hinzugefügte Winkelhaken vergrößert die Seitenlänge des entstehenden Quadrats um die Länge eines Feldes. Man muss also nur entsprecht weitere Winkelhaken gedanklich hinzufügen, bis hin zum n-ten Winkelhaken mit Einzelfeldern, die zusammen ein nxn-Brett mit Feldern bilden. Die auf diese Weise verallgemeinerte mathematische Beziehung zwischen den ungeraden Zahlen und den Quadratzahlen lautet somit:
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2
Voilá. Das ist der Beweis. Ein Beweis, der im Prinzip ohne Worte auskommt, wenn man das obige quadratische Brettmuster inspiziert und ein paar Hirnwindungen bemüht.
Die Gleichung ist übrigens für alle natürlichen Zahlen n = 1, 2, 3, … ad infinitum gültig. Der schachliche Spezialfall stellt sich für n=8 ein. Das Schaubild für sich alleine ist insofern ein grandioser Beweis ohne Worte.
Unser nächster Programmpunkt nach diesem mathematisch-schachlichen Beispiel ist ein schachkompositorisches Juwel. Es handelt sich um die in Teil 2 dieser Serie folgende Studie von zwei international bekannten Studienkomponisten.
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